확률입문

임의실험, 계산법칙과 확률부여하기

사건과 확률

확률의 기본관계

조건부 확률

베이즈 정리

 

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임의실험, 계산법칙과 확률부여하기

확률

• 사건이 일어날 수 있는 정도를 측정하는 수치 척도
• 0~1 사이의 값을 가진다.

통계 실험

• 통계학에서 실험은 물리학에서의 실험과는 조금 다르다.
• 통계 실험에서는 확률이 결과를 결정한다.
• 즉 같은 실험이 똑같이 반복되어도 완전히 다른 결과가 나타날 수 있다.
• 이러한 이유로 통계 실험은 때때로 임의실험이라고도 불린다.

 

실험과 그에 따르는 표본공간

• 실험은 잘 정의된 결과를 생산하는 과정이다.
• 표본공간은 실험에서 나타날 모든 결과의 집합이다.
• 실험 결과는 표본공간의 한 원소로 표현되는 표본점이라고 불린다.

순열 계산법칙

서로다른 N개 중에서 서로다른 n개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수는

조합의 경우의 수에서 일렬로 나열하는 경우의 수 n!을 곱하면 된다.

N! = N(N - 1)(N - 2) . . . (2)(1)                  n! = n(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)                    0! = 1

 

조합 계산법칙

서로 다른 N개에서 서로 다른 n개를 동시에 추출하는 방법의 수

 

N! = N(N - 1)(N - 2) . . . (2)(1)                  n! = n(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)                    0! = 1

 

 

확률 부여하기

확률부여의 기본조건

• 1. 실험결과에 부여되는 모든 확률은 반드시 0과 1 사이에 있어야 한다.
• 2. 모든 실험결과의 확률의 합은 반드시 1이어야 한다.

- 고전적 방법 : 모든 실험결과가 동일하게 나타나는 경우 동일한 확률을 부여한다. (ex.주사위 던지기)

- 상대도수 방법 : 실험이나 과거의 자료에 근거하여 상대도수로 확률을 부여한다. (ex. 루카스 가구대여)

- 주관적 방법 : 주관적 판단에 따라 확률을 부여한다.

 

 

사건과 그에 따르는 확률

• 사건은 표본점들의 집합이다
• 어느 사건의 확률은 사건속의 표본점들의 확률의 합이다.
• 우리가 모든 표본점들의 확률을 부여할 수 있다면, 사건의 확률도 계산할 수 있다.

 

확률의 기본 성질

모든 표본점의 확률을 알지 못할 때, 사건의 확률을 계산하는데 이용되는 몇 가지 확률의 기본관계가 있다.

 

- 보사건 : 사건 A의 보사건은 A에 포함 되지 않는 표본점들의 집합이다. (여사건)

- 두 사건의 합집합

- 두 사건의 교집합

- 두 사건의 상호 배반 사건 : 두 사건에 공통인 표본점이 없는 사건

 

- 조건부 확률 : 어느 한 사건이 일어났을 때, 다른 사건이 일어날 확률

B가 일어났을 때, A가 일어날 확률

- 덧셈법칙 

 

- 곱셈법칙 

 

- 독립사건 : 사건 B의 존재가 사건 A의 확률을 바꾸지 않는다면 사건 A와 B는 독립이다.

독립사건에 대한 곱셈법칙

 

상호배반과 독립

• 상호배반 사건 중 하나가 발생하였다면, 다른사건은 발생하지 않는다. 그러므로 다른 사건이 발생활 확률은 0이 된다. 그리고 확률이 달라지므로 두 사건은 독립이 아니다.
• 두 사건이 상호배반이 아니라면, 독립이 될 수 있고, 종속이 될 수 있다.

 

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베이즈 정리

• 우리는 관심이 있는 사건의 최초확률 또는 사전활률 추정치를 가지고 분석을 시작한다.
• 그리고 표본, 보고서, 테스트 등과 같은 자료로 부터 사건에 대한 추가적인 정보를 얻게 된다.
• 이러한 새로운 정보를 알고 사전확률을 수정함으로써 사후확률 이라는 확률을 계산한다.
• 베이즈 정리는 이러한 사전확률을 수정하는 방법을 제공한다.

ex) 엘 에스 의류