이산 확률분포

확률변수

이산 확률분포

기대값과 분산

이항확률분포

포아송확률분포

초기하확률분포

 

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확률변수

• 숫자를 이용하여 실험결과를 설명하는 방법이다.
• 이산 확률변수는 유한한 숫자 값이나 0, 1, 2, ... 와 같이, 무한하지만 셀 수 있는 값을 가진 변수이다.
• 연속확률변수는 구간이나 구간의 모음에 속하는 숫자로 주어지는 변수이다.

이산 확률 분포

• 확률변수의 확률분포는 확률변수의 값에 확률이 어떻게 분포되어 있는 지를 말해준다.
• 이산 확률 분포는 표, 그래프, 수식 등으로 표현한다.

- 첫번째 형태

: 확률 변수의 각 항목의 확률을 결정하기 위해 실험 결과에 확률부여하기 방법을 사용하는 형태

 

이산확률변수 x 의 확률분포는 확률함수 f(x)에 의해 정의된다. 확률함수는 확률변수의 값에 대한 확률을 제공해 준다.

이산확률함수에 필요한 조건

 

- 두번째 형태

: 확률 변수의 각 항목의 확률을 결정하기 위해 수식을 이용하는 형태

 

• 확률변수에 확률을 부여하는 세가지 방법 : 고전적 방법, 상대도수 방법, 주관적 방법
• 이산 확률분포를 작성하기 위해 상대도수 방법을 이용하는 것을 경험적 이산분포라 부른다.

ex) JSL 가전

확률분포에 관한 표와 그래프 표현 (경험적 이산 분포)

 

표와 그래프에 더하여, 이산 확률분포를 나타내기 위해 x의 모든 값에 대해 확률함수 f(x)의 수식을 사용할 수 있다.

수식으로 표현할 수 있는 이산확률 분포는 일양분포, 이항분포, 포아송 분포, 초기하분포 등이다.

 

이산 일양분포

: 이산확률분포를 수식으로 표현할 수 있는 가장 간단한 예, 고전적 확률 부여 방법

이산 일양확률함수는 다음과 같다. f(x) = 1/n       <<  확률변수 값이 발생할 확률이 동일하다. 여기서, n = 확률변수가 가질 수 있는 값의 개수

 

기대값

• 확률변수의 기대값 즉, 평균은 중심에 대한 척도이다.

• 기대값은 확률변수의 가중평균이라고도 할 수 있다. 가중치는 확률이다.
• 기대값은 확률변수가 가질 수 없는 값일 수 있다.

 

분산과 표준편차

• 분산은 확률변수 값의 변동성에 대한 척도이다.

• 분산은 평균과의 편차 제곱의 가중 평균이다. 가중치는 확률이다.
• 표준편차는 분산의 양의 제곱근이다.

 

이항 확률분포

네가지 특성

o   실험은 n개의 ㅇ동일한 시행으로 구성되어 있다.

o   각 실험은 (성공, 실패) 두가지 결과를 가진다.

o   성공의 확률은 p이며 반복실험에서 변하지 않는다. 실패의 확률 1-p도 반복실험에서 변하지 않는다.

o   각 실험은 독립적으로 행해진다.

우리의 관심은 독립적인 n회 시행에서 성공의 홧수이다. x를 n회 시행에서 성공의 횟수라 하자.

 

 

ex) 에반스 전자

이직률 10% > 내년에 회사에 있지 않을 확률 0.1로 추정 , 3명의 근로자 추출하였을때, 1명이 올해 이직할 확률

나무그림 이용

 

 

포아송 확률 분포

• 특정한 시간이나 공간에서 일어나는 사건의 횟수를 추정하는 데 유용한 이산확률변수이다.
• 포아송 확률변수는 무한한 값을 가질 수 있다.
• x = 0, 1, 2, ...
• 평균과 분산이 같다.

포아송 확률변수의 예

- 톨게이트에 하루에 도착하는 자동차의 수

- 인터넷 포탈에 하루에 접속하는 이용자 수 등

 

포아송 실험의 두가지 특성

1. 두 구간의 길이가 같다면 발생 확률이 동일하다.

2.어떤 구간에서 발생하거나 발생하지 않는 사건은 다른 구간에서 발생하거나 발생하지 않는 사건과 독립이다.

 

 

 

초기하 확률 분포

• 초기하분포는 이항분포와 밀접한 관계에 있다.
• 그런데, 초기하 분포는 다음의 특성이 있다.
• 시행은 독립적이지 않다. 성공 확률이 시행에 따라 달라진다.

 

초기하 확률 함수